☛Problème des manteaux

Énoncé

\(3\) personnes déposent leur manteau au vestiaire lors d'une visite d'un musée. Lorsqu'elles viennent les récupérer, la personne qui gère le vestiaire décide de les rendre au hasard. Quelle est la probabilité qu'au moins l'une d'elles récupère son manteau ?
S'aider d'un arbre pour représenter la situation !

Solution

Notons \(A\) l'événement "Au moins l'une des deux récupère son manteau" alors l'événement contraire est \(\overline{A}\) : "Aucune ne récupère son manteau".
On note \(M_1\) le manteau de la \(1^{\text{re}}\) personne.
On note \(M_2\) le manteau de la \(2^{\text{e}}\)personne.
On note \(M_3\) le manteau de la \(3^{\text{e}}\)personne.

Les issues sont des triplets. Dans la première place, on note le manteau rendu à la \(1^{\text{re}}\) personne, dans la deuxième place, celui rendu à la \(2^{\text{e}}\) personne et dans la troisième place, celui rendu à la \(3^{\text{e}}\) personne.
Par exemple, le triplet \((M_1;M_3;M_2)\) indique qu'on rend à la \(1^{\text{re}}\) personne son manteau noté \(M_1\), qu'on rend le manteau de la \(3^{\text{e}}\)personne noté \(M_3\) à la \(2^{\text{e}}\)personne et enfin qu'on rend le manteau de la \(2^{\text{e}}\)personne noté \(M_2\) à la \(3^{\text{e}}\)personne. Donc une seule personne repart avec son propre manteau.

On peut représenter la situation à l'aide de l'arbre suivant.

L'univers est donc constitué de \(6\) issues et l'événement \(\overline{A}\) est constitué de deux issues qui sont les triplets \((M_2;M_3;M_1)\) et \((M_3;M_1;M_2)\).

Comme on est dans une situation d'équiprobabilité, \(P(\overline{A})=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\).
Et donc \(P(A)=1-P(\overline{A})=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\)
La probabilité qu'au moins une personne reparte avec son manteau est égale à \(\dfrac{2}{3}\).